Desember 2011 ~ Semua Materi

Apabila prinsip komplemeter dan prinsip korespondensi serta asumsi interpretatif dasar (yakni yang menyatakan bahwa hasil yang mungkin dari suatu besaran diberikan oleh persamaan nilai eigen), maka akan diperoleh persamaan yang menentukan semua tingkatan energi dari sistem. Secara eksplisit operator energi dalam sajian Schrodinger adalah

$\begin{displaymath} H(\hat x, \hat p) = \hat H \left(x, -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \right) \end{displaymath}$

(72)

Persamaan nilai eigen energi adalah

$\begin{displaymath} \hat H \left(x,-i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \right)u_E(x) =Eu_E(x) \end{displaymath}$

(73)

Sajian ini merupakan persamaan Schrodinger.Persamaan Schrodinger untuk sebuah partikel yang berada dalam pengaruh potensial

adalah

$\begin{displaymath} \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x)\right)u_E(x)=Eu_E(x) \end{displaymath}$

(74)

Dalam 3 dimensi persamaan ini menjadi

(75)

Persamaan di atas akan diselesaikan untuk syarat batas yang menjadikan

berhingga dimana-mana (termasuk pada daerah tak hingga). Bentuk syarat batas dan makna fisisnya akan diulas pada bagian selanjutnya.

$\epsfig{file=GMB/Er.eps,height=5.5cm,width=5.5cm,angle=0}$

Kasus khusus yang penting adalah persamaan atom hidrogen dengan energi potensial seperti dalam diagram berikut. Dengan menganggap proton tak bergerak, kita gunakan koordinat kutub dan memasukkan potensial Coulomb

. Sehingga,

$\begin{displaymath} \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2-\frac{e^2}{r} \right)u_E(r,\theta,\phi)=Eu_E(r,\theta,\phi) \end{displaymath}$

(76)

Hal penting yang patut diperhatikan adalah bahwa persamaan ini menghasilkan tingkatan energi diskret yang sesuai pengamatan. Pembuktiannya menyangkutkan perhitungan rumit, yang akan diulas pada Bab 7. Untuk sementara, akan dibahas model sederhana.Diagram energi untuk atom hidrogen ditunjukkan dalam Gambar 3.1. Jika energi kinetik adalah dan energi total adalah

, maka

$\begin{displaymath} E_0 = T + V \end{displaymath}$

Oleh karena secara klasik harus dipenuhi , partikel dengan energi

dapat diamati hanya pada daerah

dengan garis

di atas kurva

$\begin{displaymath} E = V(r) \end{displaymath}$

Garis putus-putus pada diagram bersesuaian dengan energi kinetik negatif, karena itu berada pada posisi yang tak teramati. Untuk

elektron dapat berada pada posisi sampai takhingga. Untuk elektron terikat (bound). Untuk harga

yang besar tetapi negatif, elektron terbatas pada potensial yang berubah sangat cepat dalam daerah yang sangat sempit. Untuk menganalisis sifat kualitatif dari sistem yang demikian kita tinjau harga energi kuantum dari sebuah partikel yang terbatas dalam dinding potensial takhingga 1-d, yakni

$\displaystyle V(x)$	$\textstyle =$
$\displaystyle V(x)$	$\textstyle \rightarrow$		(77)

$\epsfig{file=GMB/well.eps,height=5.5cm,width=5.5cm,angle=0}$

Secara klasik partikel terbatas dalam daerah $\vert x\vert \leq a$ , dan berapapun energinya partikel terpantul setiap kali menumbuk dinding potensial.
Persamaan Schrodinger untuk sistem dengan potensial

, yang didefiniskan oleh (3.25), untuk $\vert x\vert \leq a$ , adalah

(78)

Oleh karena

bernilai takhingga pada $\vert x\vert \geq a$ , sementara suku-suku lainnya tetap berhingga, maka diperlukan syarat batas sebagai

(79)

Dengan memperkenalkan

$\begin{displaymath} k_n^2 = \frac{2mE_n}{\hbar^2} \end{displaymath}$

(80)

Persamaan menjadi

$\begin{displaymath} \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + k_n^2\right)u_n(x)=0 \end{displaymath}$

(81)

Solusi persamaan di atas yang memenuhi syarat batas pada

, adalah

$\begin{displaymath} u_{2n}(x) = A \sin k_{2n}x, \end{displaymath}$

(82)

dimana

$\begin{displaymath} ak_{2n} = 2n(\pi/2), ~~~~~~~ n=1,2,\cdots; \end{displaymath}$

(83)

dan

$\begin{displaymath} u_{2n + 1}(x) = B \cos k_{2n + 1}x \end{displaymath}$

(84)

dimana

$\begin{displaymath} ak_{2n+1} = (2n+1)(\pi/2), ~~~~~~~ n=0,1,2,\cdots; \end{displaymath}$

(85)

Dengan menggabungkan (3.31) dan (3.33), diperoleh

$\begin{displaymath} k_n = \left(\frac{\pi}{2a} \right)n, ~~~~~ n = 1,2, \cdots \end{displaymath}$

(86)

dan dengan menggunakan (3.28), tingkatan energi yang mungkin adalah

$\begin{displaymath} E_n = \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\pi^2}{4a^2} \right)n^2 \end{displaymath}$

(87)

Sifat penting dari spektrum energi diskret telah muncul secara alamiah dari formalisme di atas, dan dapat dibandingkan dengan rumus Bohr untuk atom hidrogen,

$\begin{displaymath} E_n^{(H)} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{a_0^2}\frac{1}{ n^2} \end{displaymath}$

(88)

Kenyataan bahwa model yang ditinjau masih sederhana tetapi telah mendekati model real atom hidrogen merupakan kesuksesan. Perbedaan dengan faktor merupakan kekhususan dari pendekatan 1-d (dinding potensial) terhadap sistem 3-d (atom hidrogen). Sedangkan perbedaan tanda muncul dari kenyataan bahwa tingkatan energi atom hidrogen diukur dari puncak potensial ke bawah. Pada dinding potensial, tingkatan energi dari bawah ke atas.

Read more »

Semua Materi

Butuh tips? Butuh Trik?

Mau Liburan?

Kamis, 15 Desember 2011

Persamaan Schrodinger dan Energi Kuantum

Popular Posts

Blog Archive